jueves, 11 de julio de 2013

CARACTERISTICAS DEL ANALISIS DE SENCIBILIDAD

CARACTERISTICAS DEL ANALISIS DE SENCIBILIDAD

ü  El análisis de sensibilidad prácticamente elimina el esfuerzo computacional.
ü  Los problemas reales ocurren en un medio ambiente dinámico.
ü  Identifica los parámetros sensibles.
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD (SOLUCION GRÁFICA)

a) Coeficientes de la función objetivo
Solo es necesario hacerlo para las variables originales.
a.1) Variables básicas
- Las variables x e y son básicas ya que figuran en la base (aunque x valga cero).
- La variable x saldrá de la base cuando algún coste reducido sea menor o igual a cero.
- Solo debemos examinar la columna S(1). El resto no sufren modificaciones al variar el coeficiente asocia do a x (C x)
Cx – Zx = 0 – [2 + ?Cx(1/3) – 3*(1/3) – 0*(2/3)] = 0
Por tanto: ?Cx = 1
Puesto que no hay otras columnas a examinar, concluimos que el coeficiente Cx podrá aumentar en 1 (de 2 hasta 3) y podrá disminuir todo lo que se quiera.
*      Análogamente , para la sensibilidad de Cy tendremos:
Cy – Zy = 0 – [2*(1/3) – (3 + ?Cy)*(1/3) – 0*(2/3) = 0
Por tanto: ?Cy = -1
*      Concluimos que el coeficiente y podrá disminuir en 1 (de 3 hasta 2) y podrá aumentar todo lo que se quiera.
a.2) Variables no básicas
No hay variables originales no básicas.
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD MEDIANTE PROGRAMAS INFORMÁTICOS
Los programas informáticos que resuelven modelos de programación lineal, como el LINDO, suelen incorporar la posibilidad de realizar el análisis de sensibilidad de los coeficientes de coste c y de los términos independientes de las restricciones b, el resultado de este análisis es el intervalo de valores de estos parámetros para el que se mantiene la base.
Aplicación del análisis de sensibilidad
Este análisis casi siempre comienza con la investigación de los cambios en los valores de las bi, la cantidad del recurso i (i = 1, 2,. . . , m) que se encuentra disponible para las actividades bajo consideración. La razón es que en general existe mayor flexibilidad al establecer y ajustar estos valores que los otros parámetros del modelo. La interpretación económica de las variables duales (las yi) como precios sombra es extremadamente útil para decidir cuáles son los cambios que se deben estudiar.
Primer caso: Cambios en las b i (columna lado derecho)
Supongamos que los únicos cambios al modelo actual consisten en el cambio de uno o más de los parámetros bi (i = 1, 2, . . . , m). En este caso, los únicos cambios que resultan en la tabla símplex final se encuentran en la columna del lado derecho, por lo cual, se pueden omitir del procedimiento general tanto la conversión a la forma apropiada de eliminación de Gauss como la prueba optimalidad.
Como se muestró en la tabla 1.1, cuando el vector de valores bi se cambia de b a b, las fórmulas para calcular la nueva columna del lado derecho en la tabla símplex final son
Lado derecho del renglón 0 final: Z* = y* b
Lado derecho de los renglones 1, 2, . . . , m: b* = S* b
(Vea al final de la tabla 1.1 la localización del vector y* y la matriz S* que no cambiaron, en la tabla símplex final.)
EJEMPLO
El análisis de sensibilidad para el problema original de la Wyndor Glass Co. comienza por examinar los valores óptimos de las variables duales yi (Y1* = 0, Y2* =3/2, Y3* = 1). Estos precios sombra dan el valor marginal de cada recurso i para las actividades (dos nuevos productos) bajo consideración, donde el valor marginal se expresa en las unidades de Z (miles de dólares de ganancia por semana). Se puede aumentar la ganancia total debida a estas actividades en $1500 semanales (y2* multiplicado por $1000 por semana) por cada unidad adicional del recurso 2 (hora de producción a la semana en la planta 2) que quede disponible. Este aumento en la ganancia es válido para cambios relativamente pequeños que no afecten la factibilidad de la solución básica actual (y por tanto, que no afecten los valores de yi*).
En consecuencia, el equipo de 10 ha investigado la ganancia marginal posible debida a los otros usos actuales de este recurso para determinar si alguna es menor que $1500 semanales. Esta investigación puso de manifiesto que uno de los productos antiguos es mucho menos redituable. La tasa de producción para este producto ya se redujo a la cantidad mínima que justifica sus gastos de comercialización, pero se puede descontinuar, lo que proporcionaría 12 unidades adicionales del recurso 2 para los nuevos productos. Entonces, el siguiente paso es determinar la ganancia que se podría obtener de los nuevos productos si se hiciera esta transferencia. Esto cambia b2 de 12 a 24 en el modelo de programación lineal. La figura 2 muestra el efecto gráfico de este cambio incluyendo el cambio en la solución en un vértice final de (2, 6) a (-2, 12). (Observe que esta figura es distinta a la 1 porque la restricción 3x1 + 2X2 < 18, no cambió en este caso.)
El cambio en el vector de los valores de bi es
4 _ 4
b = 12 b = 24
18 18
Por lo tanto, cuando se aplica la idea fundamental (tabla 1.1), se encuentra que el efecto de este cambio sobre la tabla símplex final original (parte media de la tabla 1.2) es que los elementos de la columna del lado derecho cambian a los siguientes valores:
4
Z* = y* b = (0,3/2,1) 24 = 54,
18
_ 1 1/3 -1/3 4 6 X3 6
b* = S* b = 0 ½ 0 24 = 12 , de modo que X2 = 12
0 -1/3 1/3 18 -2 X1 -2
De manera similar, como el único cambio en el modelo original es
 b2 = 24 - 12 = 12, se puede usar el análisis incremental para calcular estos mismos valores con mayor rapidez. El análisis incremental involucro el cálculo de los incrementos en los valores de la tabla causados por el cambio (o cambios) en el modelo original, y después la suma de estos incrementos a los valores originales. En este caso, los incrementos en Z* y b* son

_
 b1 0

 Z* = y*
 b = y*
 b2 = y* 12 ,

 b3 0

_
 b1 0

 b* =S*
 b =S*
 b2 = S* 12

 b3 0

Figura 2: Región factible para el problema de la Window Glass Co. Después de cambiar sólo b2 a 24.
Por lo tanto la segunda componente de y* y la segunda columna de S* , los únicos calculos que se necesitan son
 Z* = 3/2(12) = 18, así Z* = 36 +18 = 54,
 b1* = 1/3(12) = 4, así b1* = 2+ 4=6,
 b2* =1/2( 12) = 6, así b2* = 6 + 6 = 12,
 b3* = 1/3( 12) = -4, así b3*= 2-4=-2,
En donde los valores originales de estas cantidades se obtienen de la columna del lado derecho en la tabla símplex final original (parte media de la tabla 1.2). La tabla símplex final revisada corresponde por completo a la tabla símplex final original, excepto por la columna del lado derecho que tiene estos nuevos valores.
Por lo tanto, la solución básica actual (antes óptima) se ha convertido en
(X1, X2, X3, X4, X5) = (-2, 12, 6, 0, 0).
Que no pasa la prueba de factibilidad porque tiene un valor negativo. Ahora se puede aplicar el método símplex dual a partir de esta tabla revisada, para encontrar la nueva solución óptima. Este método conduce, en una sola iteración, a la nueva tabla símplex final que se muestra en la tabla 1.3. (En forma alternativa, se pudo haber aplicado el método símplex desde el principio y en este caso, también se hubiera llegado a esta tabla final en una sola iteración.) Esta tabla símplex indica que la nueva solución óptima es
(X1, X2, X3, X4, X5) = (0, 9, 4, 6, 0)
con Z = 45, proporcionando así un incremento en la ganancia de 9 unidades ($9000 semanales) sobre el valor anterior Z = 36. El hecho de que X4 = 6 indica que 6 de las 12 unidades adicionales del recurso 2 quedan sin usarse con esta solución.
Aunque
 b2 = 12 resultó ser un incremento de b2 demasiado grande para mantener la factibilidad (y por ende la optimalidad) con la solución básica en la que X1, X2, X3 las variables básicas (parte media de la tabla 1.2), el análisis incrementar anterior muestra qué tan grande puede ser el incremento para seguir siendo factible. En particular, se observa que

b1* = 2 + 1/3
 b2,

b2* = 6 + -1/2  b2,
b3* = 2 - 1/3
 b2,

En donde estas tres cantidades son los valores de X3, X2 y X1, respectivamente, para esta solución básica. La solución permanece factible y, por lo tanto, óptima, siempre y cuando las tres cantidades sigan siendo no negativas.
Tabla 1.3 Datos revisados para el problema de la Wyndor Glass Co. después de cambiar sólo b2
Tabla simplex final después de la reoptimización
Coeficiente de
Var básica
Ec. Núm.
Lado derecho
Z
x1
x2
x3
x4
x5
Z
0
1
9/2
0
0
0
5/2
45
x3
(1)
0
1
0
1
0
0
4
x2
(2)
0
3/2
1
0
0
1/2
9
x4
(3)
0
-3
0
0
1
-1
6
Parametros del modelo:
c1=3
c2=5
(n=2)
a11=1
a12=0
b1=4
a21=0
a22=2
b2=24
a31=3
a32=2
b3=18
Para cualquier bi, su intervalo permisible para permanecer factible es el intervalo de valores sobre el que la solución BF óptima (con los valores ajustados para las variables básicas) permanece factible. (Se supone que el cambio en el valor de esta bi es el único cambio en el modelo) Los valores ajustados para las variables básicas se obtienen a partir de la fórmula b* = S*b. El cálculo del intervalo permisible para permanecer factibles está basado en el hecho de encontrar el intervalo de valores de bi tales que b* > 0.
Con base en estos resultados, b2 = 24, se descontinuará el producto antiguo, relativamente no redituable y las 6 unidades no utilizadas del recurso 2 se guardarán para algún uso futuro. Como Y3* todavía es positivo, se hace un estudio similar de la posibilidad de cambiar la asignación del recurso 3, pero la decisión a la que se llega es conservar la asignación actual. Por lo tanto, el modelo de programación lineal en este punto tiene los valores de los parámetros y la solución óptima que se muestran en la tabla 1.3.
Segundo caso:
a) Cambios en los coeficientes de una variable no básica
Considere una variable específica xj (j fija) que sea no básica en la solución óptima dada en a tabla símplex final. El caso 2a es aquel en el que los únicos cambios al modelo actual ocurren en uno o más de los coeficientes de esta variable, cj, a1j, a2j........, amj. Entonces, si cj y aij, denotan los nuevos valores de estos parámetros con Aj, (columna j de la matriz A) como el vector que contiene a aij, se tiene para el modelo revisado.
_ _
cj cj, Aj Aj
Si la solución óptima cambió y si se desea encontrar la nueva, se puede hacer de una manera bastante sencilla. Sólo debe aplicarse la idea fundamental a la columna xj revisada (la única que cambia) en la tabla simplex final. En particular, las fórmulas de la tabla 1.1 se reducen de la siguiente manera:
Coeficiente de Xj en el reglón 0 final: zj - cj = x* Aj - cj,
Coeficiente de Xj en los reglones 1 a m finales: A*j = S* Aj.
Con la solución básica actual que ya no es óptima, el nuevo valor de z*j - cj será ahora el que tiene coeficiente negativo en el renglón 0, así que se inicia el método símplex con xj como la variable básica entrante inicial.
EJEMPLO
Como x1 es no básica en la solución óptima actual (vea la tabla 1.3) para el problema de la Wyndor Glass Co., el siguiente paso en el análisis de sensibilidad es comprobar si cualquier cambio razonable en la estimación de los coeficientes de x1 puede aconsejar que se introduzca el producto 1. El conjunto de cambios que pueden ser realistas para hacer el producto 1 más atractivo sería restablecer c1 = 4 y a31= 2. En lugar de explorar cada uno de estos cambios en forma independiente (como se hace con frecuencia en el análisis de sensibilidad), los cambios bajo consideración son:
_ 1 _ 1
c1 = 3 c1 = 4, A1 = 0 A1 = 0
3 2
Este cambio en a31 hace que la región factible cambie de la que se muestra en la figura 2 a la región correspondiente de la figura 1, cuando 3x1 + 2X2 = 18 se sustituye por 2x1 + 2x2 = 18. El cambio en c1 hace que la función objetivo Z = 3x1 + 5x2 cambie a Z = 4x1 + 5x2. Si se dibuja la recta de la función objetivo Z = 45 = 4x1 + 5x2 en la figura 1 que pasa con la solución óptima actual (0,9) se puede verificar que este punto sigue siendo óptimo después de los cambios en a31 y c1.
Esta restricción revisada como la y* actual (coeficientes de las variables de holgura en el reglón 0 de la tabla 1.3) se muestra a continuación:
y*1 = 0, y*2 = 0, y*3 = 5/2
y1 + 3y3 " 3 y1 + 2y3 " 4.
0 + 2(5/2) " 4.
Como y* todavía satisface la restricción revisada, la solución primal actual (tabla 61.3) todavía es óptima.
Debido a que esta solución todavía es óptima, no existe la necesidad de revisar la columna de xj, en la tabla símplex final (paso 2).
INTERVALO PERMITIDO PARA PERMANECER ÓPTIMA:
Se acaba de describir e ilustrar la forma de analizar cambios simultáneos en los coeficientes de una variable no básica xj. Es una práctica común en el análisis de sensibilidad poner atención también en el efecto de cambiar sólo un parámetro, cj. Esto incluye simplificar el enfoque anterior para encontrar el intervalo de valores permitidos para permanecer óptima para cj.
Para cualquier cj, su intervalo permitido para permanecer óptima es el intervalo de valores para el que la solución óptima actual (obtenida por el método símplex para el modelo actual antes de cambiar cj) permanece óptima. (Se supone que el cambio en esta única cj, es el único cambio al modelo actual.) Cuando xj, es una variable no básica para esta solución, la solución permanece óptima mientras z*j -cj " 0, donde z*j = y*Aj es una constante a la que no afecta el cambio en el valor de cj. Entonces, el intervalo permitido para permanecer óptima para cj, se puede calcular como cj " y*Aj .
Por ejemplo, considere el modelo actual para el problema de la Wyndor Glass Co. que se resume en el lado izquierdo de la tabla 1.3, donde la solución óptima actual (con C1 = 3) está dada en el lado derecho. Cuando sólo se cambia C1, esta solución permanece óptima siempre que
1
c1 " y*A1 = (0, 0, 5/2) 0 = 7 ½,
3
De manera que C1 " 7 ½ es el intervalo permitido para permanecer óptima.
Una alternativa para realizar esta multiplicación de vectores es observar en la tabla 1.3 que z*1 - c1 = 9/2 ( el coeficiente de x1 en el reglón 0) cuando c1 = 3, de manera que z*1 = 3 + 9/2 = 7 ½. Como z1 = y*A1, de inmediato se llega al mismo intervalo permitido.
Para cualquier variable de decisión no básica cj, en ocasiones se hace referencia al valor z*j - cj como el costo reducido para xj, porque es la cantidad mínima en la que tendría que reducirse el costo unitario de la actividad j para hacer que valga la pena realizar esa actividad j (aumentar el valor de xj a más de cero). Al interpretar cj como la ganancia unitaria de la actividad j (lo que reduce el incremento en el costo unitario cj por la misma cantidad), el valor de z*j - cj es entonces el incremento máximo permitido en cj para conservar óptima la solución BF actual.
b) Introducción de una nueva variable
Ya obtenida la solución óptima se puede descubrir que la formulación de programación lineal no tomó en cuenta todas las actividades que pudieran ser atractivas. Considerar una nueva actividad requiere introducir una nueva variable con los coeficientes apropiados, a la función objetivo y a las restricciones del modelo actual, éste es el caso 2b.
La manera conveniente de manejar este caso es tratarlo como si fuera el 2a! Para realizar esto se presume que la nueva variable xj ya formaba parte del modelo original con todos sus coeficientes iguales a cero (por lo que todavía son cero en la tabla símplex final) y que xj es una variable no básica en la solución BF actual. Entonces, si se cambian estos coeficientes cero a sus valores actuales para la nueva variable, sin duda el procedimiento (que incluye la reoptimización) se vuelve idéntico al del caso 2a.
De hecho, todo lo que se tiene que hacer para comprobar si la solución actual es todavía óptima es verificar si la solución básica complementaria y* satisface la nueva restricción dual que corresponde a la nueva variable en el problema primal.
Tercer caso: Cambios en los coeficientes de una variable básica
Ahora suponga que la variable xj (con j fija) que se está estudiando es una variable básica en la solución óptima que se muestra en la tabla símplex final. El caso 3 supone que los únicos cambios al modelo actual se hacen en los coeficientes de esta variable.
El caso 3 difiere del 2a debido al requisito de que la tabla símplex debe estar en la forma apropiada de eliminación de Gauss. Esta forma permite que los elementos en la columna de una variable no básica tengan cualquier valor, así que no afecta en el caso 2a. Sin embargo, para el caso 3 la variable básica xj debe tener coeficiente 1 en su renglón de la tabla símplex y coeficiente 0 en todos los demás renglones (incluyendo el renglón 0). Por lo tanto, una vez que se han calculado los cambios en la columna xj de la tabla símplex final, es probable que sea necesario aplicar la eliminación de Gauss para restaurar la forma apropiada. Este paso, a su vez, quizá cambie los valores de la solución básica actual, y puede hacerla no factible o no óptima (con lo que puede ser necesario reoptimizar).
Antes de aplicar la eliminación de Gauss, se resumen las fórmulas para revisar que la columna de xj sea la misma que para el caso 2b.
Coeficiente de xj en el renglón 0 final: z*j - cj = y*Aj - cj
Coeficiente de xj en los renglones 1 a m finales: A*j = S*Aj.
EJEMPLO
Como x2 es una variable básica en la tabla 1.3 para el problema de la Wyndor Glass Co., el análisis de sensibilidad sobre sus coeficientes se ajusta al caso 3. Dada la solución óptima actual (x1= 0, x2 = 9), el producto 2 es el único producto nuevo que debe introducirse, y su tasa de producción será relativamente grande. Por ello,, la pregunta importante es si las estimaciones iniciales que llevaron a los coeficientes de x2 en el modelo actual pudieron haber sobreestimado tanto las cualidades del producto 2 que invaliden esta conclusión. Para responder a esta pregunta se debe verificar el conjunto más pesimista de estimaciones razonables para estos coeficientes, que resulta ser c2 = 3, a22 = 3 y a32 =4. En consecuencia, los cambios que han de investigarse son
_ 0 _ 0
c2 = 5 c2 = 3, A2 = 2 A2 = 3
2 4
El efecto gráfico de estos cambios es la modificación en la región factible según la figura 3 respecto a la que se muestra en la figura 2. La solución óptima en la figura 2 es (x1, x2)= (0, 9), que corresponde a la solución en el vértice en donde se cruzan las fronteras de restricción x1= 0 y 3x1 + 2x2 = 18. Al revisar las restricciones, la solución en un vértice correspondiente en la figura 3 es (0,9/2). No obstante, esta solución ya no es óptima, puesto que la función objetivo revisada, Z = 3x1 + 3x2, conduce ahora a la nueva solución óptima (x1,x2) = (4 , 3/2).
Ahora veamos cómo se puede llegar a estas mismas conclusiones algebraicamente. Dado que los únicos cambios en el modelo ocurren en los coeficientes de x2, las únicas modificaciones que resultan en la tabla símplex final (tabla 1.3) están en la columna de x2. Entonces, se usan las fórmulas anteriores para volver a calcular nada más esta columna.
Figura 3: Región factible para el ejemplo del caso 3: cambios en los coeficientes de una variable básica.
_ _ 0
z2 - c2 = y*A2 - c2 = (0, 0, 5/2) 3 - 3 = 7
4
_ 1 0 0 0 0
A*2 = S*A2 = 0 0 ½ 3 = 2
0 1 -1 4 -1
(De manera equivalente, se puede usar el análisis incremental con
c2 =-2,
a22 = 1 y
a32 = 2 para obtener esta columna.)

La tabla final revisada que resulta se muestra en la parte superior de la tabla 1.4. Note que los nuevos coeficientes de esta variable básica x2 no tienen los valores requeridos y se tiene que aplicar la conversión a la forma apropiada con eliminación de Gauss. Este paso exige dividir el renglón 2 entre 2, restar el nuevo renglón 2 multiplicado por 7 del renglón 0 y sumar el nuevo renglón 2 al renglón 3.
La segunda tabla símplex de la tabla 1.4 da los nuevos valores de la solución básica actual, a saber, x3 = 4, x2 = 9/2, x4 = 21/2 (x1 = 0, x5 = O). Como todas estas variables son no negativas, la solución todavía es factible. Sin embargo, el coeficiente negativo de x1, en el renglón 0 indica que la solución ya no es óptima. Se aplicará el método simplex a esta tabla, con esta solución como solución BF inicial, para encontrar la nueva solución óptima. La variable entrante básica inicial es x1, con x3 como la variable básica que sale. Se necesita sólo una iteración en este caso para llegar a la nueva solución óptima: x1 = 4, x2 = 3/2, x4 = 39/2 (x3 = 0, x5 = 0), como se muestra en la tabla 1.4.
Este análisis sugiere que c2, a22, y a32 son parámetros relativamente sensibles. Sin embargo, los datos adicionales para estimarles con más cuidado sólo pueden obtenerse si se realiza una prueba piloto. Por lo tanto, el equipo de IO recomienda que inicie de inmediato la producción del producto 2 en pequeña escala (x2 =3/2) y que se use esta experiencia como guía para la decisión acerca de si la capacidad restante debe asignarse al producto 2 o al 1.
Tabla 1.4 : Procedimiento del análisis de sensibilidad aplicado al ejemplo del tercer caso.
Coeficiente de
Var bàsica
Ec. Núm.
Lado derecho
Z
1
2
3
4
x5
Tabla simplex final revisada
Z
0
1
/2
7
0
0
5/2
45
x3
(1)
0
1
0
1
0
0
4
x2
(2)
0
/2
2
0
0
1/2
9
x4
(3)
0
3
1
0
1
-1
6
Convertida a la forma apropiada
Z
(0)
1
3/4
0
0
0
3/4
27/2
x3
(1)
0
1
0
1
0
0
4
x2
(2)
0
3/4
1
0
0
1/4
9/2
x4
(3)
0
-9/4
0
0
1
3/4
21/2
Reoptimizacion de la tabla simplex
Z
(0)
1
0
0
/4
0
3/4
33/2
x1
(1)
0
1
0
1
0
0
4
x2
(2)
0
0
3/4
0
1/4
3/2
x4
(3)
0
0
0
9/4
1
-3/4
39/2

INTERVALO PERMITIDO PARA PERMANECER ÓPTIMA:
Ya se describió para el segundo caso como encontrar el intervalo permisible para permanecer óptima para cualquier cj tal que xj es una variable no básica para la solución óptima actual (antes de cambiar cj) Cuando xj es una variable básica, el procedimiento se complica un poco por la necesidad de convertir a la forma apropiada de eliminación de Gauss antes de probar la optimalidad.
Para ilustrar el procedimiento, considere la nueva versión del modelo de la Wyndor Glass Co. (con c2 = 3, a22 = 3, a23 = 4) cuya gráfica se muestra en la figura 3 y que se resuelve en la tabla 1.4. Como x2 es una variable básica para la solución óptima dada al final de la tabla (con c2 = 3), los pasos necesarios para encontrar el intervalo de valores permitidos para permanecer óptima para c2 son los siguientes:
  Como x2 es una variable básica, observe que su coeficiente en el nuevo renglón 0 final automáticamente es Z*2 - c2 = 0 antes de cambiar el valor actual de 3 para c2.
  Ahora se incremento c2 = 3 en
c2 (de manera que c2 = 3 +
c2). Esto cambia el coeficiente indicado en el paso 1 a Z*2 - c2 = -
c2.

  Con este coeficiente ahora diferente de cero, deben realizarse operaciones elementales para restaurar la forma apropiada de eliminación de Gauss. En particular, se suma al renglón 0 el renglón 2 multiplicado por
c2, lo que da el nuevo renglón cero [0, 0, ¾ - ¾
c2, ¾ + ¼
c2 : 33/2 + 3/2
c2)

  Usando este nuevo renglón 0, se calcula el intervalo de valores de
c2 que mantiene no negativos a los coeficientes de las variables no básicas (x3 Y x5).

¾ - ¾
c2 " 0 ¾ " ¾
c2
c2 " 1.

¾ + ¼
c2 " 0 ¼
c2 " - ¾
c2 " 1.

  Como c2 = 3 +
c2, se suma 3 a este intervalo de valores, lo que da como el intervalo de valores permitido para permanecer óptima para c2.

0 " c2 " 4
Con sólo dos variables de decisión, este intervalo permitido se puede verificar gráficamente usando la figura 3 con una función objetivo de Z = 3x1 + c2x2 Con el valor actual c2 = 3, la solución óptima es (4, 3/2). Cuando se incrementa c2, esta solución permanece óptima sólo para c2 " 4. Para c2 " 4, (0, 9/2) se convierte en óptima (con un empate en c2 = 4), debido a la frontera de restricción 3x1 + 4x2 = 18. Cuando por el contrario, C2 disminuye, (4,3/2) sigue siendo óptima sólo para c2 " 0- Si c2 " 0, (4, 0) se vuelve óptima debido a la frontera de restricción x1 = 4.
De forma similar, el intervalo de valores permitidos para permanecer óptima para c1 (con c2 fijo en 3) se puede obtener algebraica o gráficamente como c1 " 9/4.
Cuarto caso: Introducción de una nueva restricción de desigualdad
Este es el último caso en el cual debe introducirse al modelo una nueva restricción, después de que ya se ha resuelto. Este caso puede ocurrir porque se pasó por alto la restricción en un principio o porque surgieron nuevas consideraciones después de formular el modelo. Otra posibilidad es que a propósito se haya eliminado la restricción para disminuir el esfuerzo computacional por parecer menos restrictiva que otras ya planteadas en el modelo, pero ahora es necesario verificar esta impresión con la solución óptima que se obtuvo.
Para ver si la nueva restricción afecta a la solución óptima actual, todo lo que tiene que hacerse es verificar directamente si esa solución óptima satisface la restricción. Si es así, todavía sería la mejor solución básica factible (es decir, sería la solución óptima), aun cuando se agregara la restricción al modelo. La razón es que una nueva restricción sólo puede eliminar algunas de las soluciones factibles anteriores sin agregar ninguna.
Si la nueva restricción elimina la solución óptima actual, y si se quiere encontrar la nueva solución, se introduce esta restricción a la tabla símplex final (como un renglón adicional ) justo como si fuera la tabla inicial, en la que se designa la variable usual (de holgura o artificial) como la variable básica que corresponde a este nuevo renglón. Como éste tal vez tenga coeficientes distintos de cero para algunas otras variables básicas, se debe aplicar la conversión a la forma apropiada de eliminación de Gauss y después el paso de reoptimización en la forma usual.
EJEMPLO
Como ejemplo de este caso, suponga que se introduce la nueva restricción, al modelo dado en la tabla 1.3. El efecto gráfico se muestra en la figura 4. La solución óptima anterior (0, 9) viola la nueva restricción, por lo que la solución óptima cambia a (0, 8).
2x1 + 3x2 " 24,
Para analizar este ejemplo algebraicamente, observe que (0, 9) lleva a que 2x1 + 3x2 = 27 > 24, entonces esta solución óptima anterior ya no es factible. Para encontrar la nueva solución óptima, se agrega esta restricción a la tabla símplex final actual, tal como se describió, con la variable de holgura x6 como su variable básica inicial. Esto lleva a la primera tabla que se muestra en la tabla 1.5. El paso de conversión a la forma apropiada de eliminación de Gauss requiere restar el renglón 2 multiplicado por 3, del nuevo renglón, con lo que se identifica la solución básica actual: x3 = 4, x2 = 9, x4 = 6, x6 = -3 (x1 = 0, x5 = 0), como se muestra en la segunda tabla símplex.
Figura 4: Región factible para el ejemplo del caso cuatro, introducción de una nueva desigualdad.
Coeficiente de
Var bàsica
Ec. Núm.
Lado derecho
Z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Tabla simplex final revisada
Z
0
1
9/2
0
0
0
5/2
0
45
x3
(1)
0
1
0
1
0
0
0
4
x2
(2)
0
3/2
1
0
0
1/2
0
9
x4
(3)
0
-3
0
0
1
-1
0
6
x6
nueva
0
2
3
0
0
0
1
24
Convertida a la forma apropiada
Z
(0)
1
9/2
0
0
0
5/2
0
45
x3
(1)
0
1
0
1
0
0
0
4
x2
(2)
0
3/2
1
0
0
1/2
0
9
x4
(3)
0
-3
0
0
1
-1
0
6
x6
nueva
0
-5/2
0
0
0
-3/2
1
-3
nueva tabla simplex final después
Z
(0)
1
1/3
0
0
0
0
5/3
40
de reoptimizar
x3
(1)
0
1
0
1
0
0
0
4
x2
(2)
0
2/3
1
0
0
0
1/3
8
x4
(2)
0
-4/3
0
0
1
0
-2/3
8
x5
nueva
0
5/3
0
0
0
1
-2/3
2

Importancia del Análisis de la Sensibilidad

La importancia del análisis de sensibilidad se manifiesta en el hecho de que los valores de las variables que se han utilizado para llevar a cabo la evaluación del proyecto pueden tener desviaciones con efectos de consideración en la medición de sus resultados.
La evaluación del proyecto será sensible a las variaciones de uno o más parámetros si, al incluir estas variaciones en el criterio de evaluación empleado, la decisión inicial cambia. El análisis de sensibilidad, a través de los diferentes modelos, revela el efecto que tienen las variaciones sobre la rentabilidad en los pronósticos de las variables relevantes.

 Es importante visualizar qué variables tienen mayor efecto en el resultado frente a distintos grados de error, en su estimación permite decidir acerca de la necesidad de realizar estudios más profundos de esas variables, para mejorar las estimaciones y reducir el grado de riesgo por error.
Publicado por en

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Suscribirse a: Enviar comentarios (Atom)