TEOREMAS DE DUALIDAD.

TEOREMA DE EXISTENCIA.

La condición necesaria y suficiente para que un problema de programación lineal tenga solución es que, tanto el conjunto de oportunidades del primal (S) como en conjunto de oportunidades del dual (S’) no sean vacíos, es decir, que ambos problemas sean factibles.

∃ ( x* , λ* ) ←→ S ≠ ∅ ∧ S’ ≠ ∅

Corolario del teorema de existencia.

Una vez analizadas las condiciones que han de cumplirse para que exista solución optima, vamos a ver los diferentes casos posibles:

      S ≠ ∅ ∧ S’ ≠ ∅ Ambos problemas tienen solución optima finita.

      S = ∅ ∧ S’ ≠ ∅ El programa primal es infactible, y el programa dual es no acotado.

      S ≠ ∅ ∧ S’ = ∅ El programa dual es infactible, y el programa primal es no acotado.

      S = ∅ ∧ S’ = ∅ Ambos problemas son infactibles.

TEOREMA DE LA DUALIDAD.

La condición necesaria y suficiente para que exista solución óptima del primal ( x* ), es que exista una solución óptima para el dual ( λ* ) y que valor de la función objetivo de ambos programas sea igual, es decir Z(x*) = G(λ*).

∃ x* ←→ ∃ λ* / Z(x*) = G(λ*)

TEOREMA DEL HOLGURA COMPLEMENTARIA.

La condición necesaria y suficiente para que (x*, λ*) sean soluciones óptimas del programa primal y dual, es que satisfagan las condiciones de holgura complementaria:

(c - λ* A) x* = 0λ* ( b - A x* ) = 0

IMPORTANCIA DE DUALIDAD DE PROGRACMACION LINEAL

La dualidad permite realizar importantes interpretaciones económicas de los problemas de programación lineal y así como también generar métodos como el método dual del simplex de gran importancia en el análisis de post-optimización y en la programación lineal paramétrica.

La resolución de los problemas duales respecto a los primales se justifica dada la facilidad que representan dados problemas, donde el número de restricciones supere al número de variables. Además de tener gran aplicación en el análisis económico del problema.

Otra de las ventajas que presenta es que dado al número de restricciones y variables entre problema dual y primal es inverso, se pueden resolver gráficamente problemas que presenten dos restricciones sin importar el número de variables. Sin embargo cada vez que se plantea y resuelve un problema lineal, existe otro problema incitante planteado y que puede ser resuelto, es el considerado problema dual, el cual tiene unas importantes relaciones y propiedades respecto al problema primal que pueden ser de gran beneficio para la toma de decisiones.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA DUALIDAD:

VENTAJAS:

Una de las ventajas de la existencia del problema dual es la posibilidad de reducir el esfuerzo computacional al resolver ciertos modelos de Programación Lineal. Pero más importante aún es la relación que existe entre la dualidad y el análisis de sensibilidad, tema del próximo capítulo, el cual estudia el efecto que las variaciones en los parámetros de un modelo tienen en la solución óptima de este. Además, los valores óptimos de las variables del modelo dual suministran información económica muy importante acerca del valor implícito de los recursos que se utilizan en el problema que se está resolviendo.

El matemático norteamericano John Von Neumann (1991) fue el primero en destacar la existencia de la dualidad en la programación lineal y a partir de allí el concepto se ha usado en una gran variedad de áreas teóricas y prácticas de la misma

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ANALISIS DE SENSIBILIDAD

El análisis de sensibilidad es una herramienta especialmente útil cuando no tenemos una certeza absoluta sobre los valores que se han dado a los términos independientes de las restricciones (en muchas ocasiones asociados a la limitación de los recursos) o los coeficientes de la función objetivo (coeficientes de coste). Para estos casos el análisis de sensibilidad consiste en estudiar cómo evoluciona el óptimo y el valor de la función objetivo en el óptimo ante variaciones de dichos términos independientes y coeficientes.

El análisis de sensibilidad propiamente dicho estudia los intervalos para los cuales la modificación de un valor (coeficiente de la función objetivo o término independiente) en el programa lineal, de forma individualizada, no cambia las variables que componen la base de nuestra solución. Hallando, para el rango de valores definido en el intervalo, la evolución de la función objetivo (expresado a través de los precios sombra).

OBJETIVO DE ANALISIS DE SENSIBILIDAD

El objetivo fundamental del análisis de sensibilidad es identificar los parámetros sensibles, (por ejemplo, los parámetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie la solución óptica). Para ciertos parámetros que no están clasificados como sensibles, también puede resultar de gran utilidad determinar el intervalo de valores del parámetro para el que la solución óptima no cambie. Este intervalo de valores se conoce como intervalo permisible para permanecer óptimo. En algunos casos cambiar el valor de un parámetro puede afectar la factibilidad de la solución BF óptima con los valores ajustados de las variables básicas seguirá siendo factible.